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Quantitative Aptitude · Chapter 20 · Coordinate Geometry

Coordinate Geometry

Coordinate geometry puts geometry on a grid: every point becomes a pair (x, y), and shapes become algebra. Three formulas carry almost the whole SSC syllabus — the distance formula, the section formula (with its mid-point special case), and the centroid. Learn those cold and the rest is careful substitution.निर्देशांक ज्यामिति ज्यामिति को एक ग्रिड पर रखती है: हर बिंदु एक युग्म (x, y) बन जाता है, और आकृतियाँ बीजगणित। तीन सूत्र लगभग पूरे SSC पाठ्यक्रम को उठाते हैं — दूरी सूत्र, विभाजन सूत्र (और उसका मध्य-बिंदु विशेष रूप), और केंद्रक। इन्हें अच्छे से सीख लें और बाकी सावधान प्रतिस्थापन है।
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Topic 01

Distance, Mid-point & Section Formula

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Distance & sectionदूरी व विभाजन
Distance PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]  ·  Mid-point = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Section (m : n internal) = ((m·x₂ + n·x₁)/(m+n), (m·y₂ + n·y₁)/(m+n))
दूरी PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] · मध्य-बिंदु = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) · विभाजन (m : n आंतरिक) = ((m·x₂ + n·x₁)/(m+n), (m·y₂ + n·y₁)/(m+n))।
Distance is just Pythagoras on the grid — (1, 2) to (4, 6)दूरी बस ग्रिड पर पाइथागोरस है — (1, 2) से (4, 6)
xy P(1,2) Q(4,6) Δx = 3Δy = 4 PQ = √(3²+4²) = 5
◆ Worked example — external divisionहल किया उदाहरण — बाह्य विभाजन

Find the point that divides the segment from A(2, 1) to B(5, 3) internally in the ratio 1 : 2.A(2, 1) से B(5, 3) तक के खंड को 1 : 2 अनुपात में आंतरिक रूप से बाँटने वाला बिंदु ज्ञात करें।

  1. x = (1·5 + 2·2)/(1+2) = 9/3 = 3; y = (1·3 + 2·1)/3 = 5/3.x = (1·5 + 2·2)/3 = 3; y = (1·3 + 2·1)/3 = 5/3।
  2. So the point is (3, 5/3) — the first trisection point of AB.अतः बिंदु (3, 5/3) है — AB का पहला त्रिभाजन बिंदु।
✔ In the section formula the ratio "crosses over": m multiplies the far point's coordinate (x₂), n multiplies the near one (x₁).✔ विभाजन सूत्र में अनुपात "पार" होता है: m दूर बिंदु के निर्देशांक (x₂) से, n पास वाले (x₁) से गुणा होता है।
📝 Self-testस्वयं-परीक्षण 6 MCQs

The distance between the origin and the point (3, 4) is:मूल बिंदु और बिंदु (3, 4) के बीच की दूरी है:

  1. 4
  2. 5
  3. 7
  4. 25
✔ B. √(3² + 4²) = √25 = 5.✔ B. √(3² + 4²) = √25 = 5।

The distance between (1, 2) and (4, 6) is:(1, 2) और (4, 6) के बीच की दूरी है:

  1. 5
  2. √7
  3. 7
  4. 25
✔ A. √(3² + 4²) = √25 = 5.✔ A. √(3² + 4²) = 5।

The mid-point of (2, 3) and (6, 7) is:(2, 3) और (6, 7) का मध्य-बिंदु है:

  1. (8, 10)
  2. (5, 4)
  3. (4, 4)
  4. (4, 5)
✔ D. ((2+6)/2, (3+7)/2) = (4, 5).✔ D. ((2+6)/2, (3+7)/2) = (4, 5)।

The distance between (−6, −1) and (−6, 11) is:(−6, −1) और (−6, 11) के बीच की दूरी है:

  1. 12
  2. 6
  3. √12
  4. 10
✔ A. Same x → distance = |11 − (−1)| = 12.✔ A. समान x → दूरी = |11 − (−1)| = 12।

The mid-point of (−2, 4) and (4, 8) is:(−2, 4) और (4, 8) का मध्य-बिंदु है:

  1. (2, 12)
  2. (1, 4)
  3. (1, 6)
  4. (6, 1)
✔ C. ((−2+4)/2, (4+8)/2) = (1, 6).✔ C. ((−2+4)/2, (4+8)/2) = (1, 6)।

The distance of the point (5, 12) from the origin is:बिंदु (5, 12) की मूल बिंदु से दूरी है:

  1. 7
  2. 13
  3. 12
  4. 17
✔ B. √(5² + 12²) = √169 = 13.✔ B. √(5² + 12²) = 13।
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Topic 02

Centroid, Incentre & Area of a Triangle

Triangle formulasत्रिभुज सूत्र
Centroid G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)  ·  Area = ½ |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|
केंद्रक G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3) · क्षेत्रफल = ½ |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|।

The centroid is simply the average of the three vertices, and it divides each median in the ratio 2 : 1. If the area formula gives 0, the three points are collinear — a favourite quick test. The incentre weights the vertices by the opposite side lengths a, b, c: I = ((ax₁+bx₂+cx₃)/(a+b+c), …).केंद्रक बस तीन शीर्षों का औसत है, और यह हर माध्यिका को 2 : 1 अनुपात में बाँटता है। यदि क्षेत्रफल सूत्र 0 दे, तो तीनों बिंदु संरेख हैं — एक पसंदीदा त्वरित जाँच। अंतःकेंद्र शीर्षों को सम्मुख भुजाओं a, b, c से भारित करता है: I = ((ax₁+bx₂+cx₃)/(a+b+c), …)।

◆ Worked example — area & a missing vertexहल किया उदाहरण — क्षेत्रफल व अज्ञात शीर्ष

The triangle with vertices (−3, 0), (3, 0) and (0, k) has area 9. Find k.शीर्षों (−3, 0), (3, 0) और (0, k) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 है। k ज्ञात करें।

  1. The base on the x-axis is from −3 to 3, length 6; the height is |k|.x-अक्ष पर आधार −3 से 3 तक, लंबाई 6; ऊँचाई |k|।
  2. Area = ½ × 6 × |k| = 3|k| = 9 → k = 3.क्षेत्रफल = ½ × 6 × |k| = 3|k| = 9 → k = 3।
✔ When one side lies on an axis, fall back to ½ × base × height — faster than the full determinant.✔ जब एक भुजा किसी अक्ष पर हो, ½ × आधार × ऊँचाई का प्रयोग करें — पूरे सारणिक से तेज़।
📝 Self-testस्वयं-परीक्षण 6 MCQs

The centroid of the triangle with vertices (0, 0), (6, 0) and (0, 9) is:शीर्षों (0, 0), (6, 0) और (0, 9) वाले त्रिभुज का केंद्रक है:

  1. (3, 2)
  2. (2, 3)
  3. (6, 9)
  4. (2, 2)
✔ B. ((0+6+0)/3, (0+0+9)/3) = (2, 3).✔ B. ((0+6+0)/3, (0+0+9)/3) = (2, 3)।

If the centroid of the triangle (7, p), (q, −6), (9, 10) is (6, 3), then p + q is:यदि त्रिभुज (7, p), (q, −6), (9, 10) का केंद्रक (6, 3) है, तो p + q है:

  1. 6
  2. 7
  3. 5
  4. 8
✔ B. (16+q)/3 = 6 → q = 2; (p+4)/3 = 3 → p = 5; p + q = 7.✔ B. (16+q)/3 = 6 → q = 2; (p+4)/3 = 3 → p = 5; p + q = 7।

The area of the triangle with vertices (−3, 0), (3, 0) and (0, k) is 9. The value of k is:शीर्षों (−3, 0), (3, 0) और (0, k) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 है। k का मान है:

  1. 3
  2. 12
  3. 6
  4. 9
✔ A. ½ × 6 × k = 9 → k = 3.✔ A. ½ × 6 × k = 9 → k = 3।

The points A(1, 1), B(−2, 7) and C(3, −3) are:बिंदु A(1, 1), B(−2, 7) और C(3, −3) हैं:

  1. collinear
  2. a right triangle
  3. an equilateral triangle
  4. vertices of a square
✔ A. Area = ½|1(7−(−3)) + (−2)(−3−1) + 3(1−7)| = ½|10 + 8 − 18| = 0 → collinear.✔ A. क्षेत्रफल = ½|10 + 8 − 18| = 0 → संरेख।

The centroid of the triangle with vertices (1, 2), (3, 4) and (5, 0) is:शीर्षों (1, 2), (3, 4) और (5, 0) वाले त्रिभुज का केंद्रक है:

  1. (3, 2)
  2. (3, 3)
  3. (2, 3)
  4. (9, 6)
✔ A. ((1+3+5)/3, (2+4+0)/3) = (3, 2).✔ A. ((1+3+5)/3, (2+4+0)/3) = (3, 2)।

The area of the triangle with vertices (0, 0), (4, 0) and (0, 3) is:शीर्षों (0, 0), (4, 0) और (0, 3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

  1. 9
  2. 12
  3. 3
  4. 6
✔ D. ½ × 4 × 3 = 6.✔ D. ½ × 4 × 3 = 6।
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Topic 03

Division by Axes & Special Figures

Division by the axesअक्षों द्वारा विभाजन
The x-axis divides the join of (x₁,y₁) and (x₂,y₂) in the ratio −y₁ : y₂  ·  the y-axis in the ratio −x₁ : x₂
x-अक्ष, (x₁,y₁) और (x₂,y₂) के योग को अनुपात −y₁ : y₂ में बाँटता है · y-अक्ष अनुपात −x₁ : x₂ में।

A positive ratio means the point of division lies between the two points (internal); a negative ratio means it lies outside. For a parallelogram PQRS the diagonals bisect each other, so the fourth vertex is S = P + R − Q — a one-line result worth remembering.धनात्मक अनुपात का अर्थ है विभाजन बिंदु दोनों बिंदुओं के बीच है (आंतरिक); ऋणात्मक का अर्थ है वह बाहर है। किसी समांतर चतुर्भुज PQRS में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, अतः चौथा शीर्ष S = P + R − Q — याद रखने योग्य एक-पंक्ति परिणाम।

◆ Worked example — ratio of divisionहल किया उदाहरण — विभाजन का अनुपात

In what ratio does the line 3x + 4y = 7 divide the segment joining (1, 2) and (−2, 1)?रेखा 3x + 4y = 7, (1, 2) और (−2, 1) को मिलाने वाले खंड को किस अनुपात में बाँटती है?

  1. Put each point into 3x + 4y − 7: at (1, 2) → 3 + 8 − 7 = 4; at (−2, 1) → −6 + 4 − 7 = −9.हर बिंदु को 3x + 4y − 7 में रखें: (1, 2) पर → 4; (−2, 1) पर → −9।
  2. Ratio = −(value at P)/(value at Q) = −(4)/(−9) = 4 : 9 (positive → internal).अनुपात = −(P पर मान)/(Q पर मान) = −(4)/(−9) = 4 : 9 (धनात्मक → आंतरिक)।
✔ A line ax+by+c = 0 divides the join in the ratio −(ax₁+by₁+c) : (ax₂+by₂+c).✔ रेखा ax+by+c = 0 योग को अनुपात −(ax₁+by₁+c) : (ax₂+by₂+c) में बाँटती है।
📝 Self-testस्वयं-परीक्षण 6 MCQs

The x-axis divides the segment joining (3, −5) and (−4, 7) in the ratio:x-अक्ष, (3, −5) और (−4, 7) को मिलाने वाले खंड को किस अनुपात में बाँटता है:

  1. 4 : 3
  2. 7 : 5
  3. 5 : 7
  4. 3 : 4
✔ C. −y₁ : y₂ = −(−5) : 7 = 5 : 7.✔ C. −y₁ : y₂ = 5 : 7।

The y-axis divides the segment joining (−4, 3) and (5, −2) in the ratio:y-अक्ष, (−4, 3) और (5, −2) को मिलाने वाले खंड को किस अनुपात में बाँटता है:

  1. 5 : 4
  2. 3 : 2
  3. 4 : 5
  4. 2 : 3
✔ C. −x₁ : x₂ = −(−4) : 5 = 4 : 5.✔ C. −x₁ : x₂ = 4 : 5।

Which point is nearest to the origin?कौन-सा बिंदु मूल बिंदु के सबसे निकट है?

  1. (−8, 0)
  2. (7, 0)
  3. (−3, −4)
  4. (0, −6)
✔ C. Distances: 5, 6, 7, 8 → (−3, −4) is nearest at 5.✔ C. दूरियाँ: 5, 6, 7, 8 → (−3, −4) सबसे निकट, 5 पर।

If P(1, 2), Q(4, 6), R(5, 7) are three vertices of a parallelogram PQRS, the fourth vertex S is:यदि P(1, 2), Q(4, 6), R(5, 7) समांतर चतुर्भुज PQRS के तीन शीर्ष हैं, तो चौथा शीर्ष S है:

  1. (8, 11)
  2. (2, 3)
  3. (3, 2)
  4. (2, 4)
✔ B. S = P + R − Q = (1+5−4, 2+7−6) = (2, 3).✔ B. S = P + R − Q = (2, 3)।

In what ratio does the point (2, y) divide the join of (−4, 3) and (6, 3), and what is y?बिंदु (2, y), (−4, 3) और (6, 3) के योग को किस अनुपात में बाँटता है, और y क्या है?

  1. 1 : 1, y = 3
  2. 3 : 2, y = 4
  3. 2 : 3, y = 3
  4. 3 : 2, y = 3
✔ D. (6m − 4n)/(m+n) = 2 → 4m = 6n → m : n = 3 : 2; both y are 3 → y = 3.✔ D. (6m − 4n)/(m+n) = 2 → m : n = 3 : 2; दोनों y = 3 → y = 3।

If the distance between (x, 2) and (3, 4) is 2, then x equals:यदि (x, 2) और (3, 4) के बीच की दूरी 2 है, तो x बराबर है:

  1. 6
  2. 0
  3. 2
  4. 3
✔ D. (x−3)² + 4 = 4 → (x−3)² = 0 → x = 3.✔ D. (x−3)² + 4 = 4 → x = 3।

Test Yourself · Coordinate Geometry

15 questions on distance, section & mid-point, centroid, area, collinearity and division by lines. Take 5 at a time; tap an option to check, then read Why.

दूरी, विभाजन व मध्य-बिंदु, केंद्रक, क्षेत्रफल, संरेखता और रेखाओं द्वारा विभाजन पर 15 प्रश्न। एक बार में 5 लें; जाँचने के लिए विकल्प पर टैप करें, फिर Why पढ़ें।