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Quantitative Aptitude · Chapter 16 · Surds & Indices

Surds & Indices

An index is a power (the small number in aⁿ); a surd is a root that stays irrational, like √2. This chapter is pure rules — a handful of index laws and a few surd tricks (rationalising, spotting a perfect square, comparing). Learn them and these become quick, certain marks. It pairs closely with the Algebra chapter's value-finding.एक घातांक एक घात है (aⁿ में छोटी संख्या); एक करणी वह मूल है जो अपरिमेय रहे, जैसे √2। यह अध्याय शुद्ध नियम है — कुछ घातांक नियम और कुछ करणी तरकीबें (परिमेयकरण, पूर्ण-वर्ग पहचानना, तुलना)। इन्हें सीख लें तो ये तेज़, निश्चित अंक बन जाते हैं। यह बीजगणित अध्याय के मान-निकालने से गहराई से जुड़ता है।
√
ⁿ
Topic 01

The Laws of Indices

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In aⁿ, the bottom number a is the base and the top number n is the index (or power). A few laws let you combine, split and simplify powers quickly.aⁿ में, नीचे की संख्या a आधार है और ऊपर की संख्या n घातांक (या घात) है। कुछ नियम आपको घातों को जल्दी जोड़ने, बाँटने और सरल करने देते हैं।

Multiply / divide same baseaᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Power of a power(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
Power over a product / quotient(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ
Zero & negative powersa⁰ = 1 (a ≠ 0)
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
Fractional power = roota^(1/n) = ⁿ√a
a^(p/q) = (ⁿ√a)ᵖ (n = q)
🟰
Solving index equations — make the bases the sameघातांक समीकरण हल करना — आधार समान बनाएँ
To solve an equation like 2ˣ = 32, write both sides on the same base: 2ˣ = 2⁵, so the powers must be equal → x = 5. Likewise 125ˣ = 25 → 5³ˣ = 5² → 3x = 2 → x = 2/3.2ˣ = 32 जैसे समीकरण को हल करने के लिए, दोनों पक्ष समान आधार पर लिखें: 2ˣ = 2⁵, अतः घातें बराबर होनी चाहिए → x = 5। इसी तरह 125ˣ = 25 → 5³ˣ = 5² → 3x = 2 → x = 2/3।
◆ Worked examplesहल किए उदाहरण
  1. Simplify (2³ × 2⁴) ÷ 2⁵. Add then subtract powers: 2^(3+4−5) = 2² = 4.(2³ × 2⁴) ÷ 2⁵ सरल करें। घातें जोड़ें फिर घटाएँ: 2^(3+4−5) = 2² = 4।
  2. Value of 8^(2/3). = (8^(1/3))² = 2² = 4 (cube root of 8 is 2, then square).8^(2/3) का मान। = (8^(1/3))² = 2² = 4 (8 का घनमूल 2, फिर वर्ग)।
✔ Same base → add/subtract powers. Fractional power → take the root, then the power.✔ समान आधार → घातें जोड़ें/घटाएँ। भिन्न घात → पहले मूल, फिर घात।
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If 3ˣ = 81, then x is:यदि 3ˣ = 81, तो x है:

  1. 4
  2. 2
  3. 3
  4. 5
✔ A. 81 = 3⁴, so 3ˣ = 3⁴ → x = 4.✔ A. 81 = 3⁴, अतः 3ˣ = 3⁴ → x = 4।

The value of (16)^0.75 is:(16)^0.75 का मान है:

  1. 12
  2. 8
  3. 4
  4. 64
✔ B. 0.75 = 3/4, so (16)^(3/4) = (16^(1/4))³ = 2³ = 8.✔ B. 0.75 = 3/4, अतः (16)^(3/4) = (16^(1/4))³ = 2³ = 8।
√
Topic 02

Surds & Their Types

A surd is the n-th root of a rational number when that root is irrational — for example √2, √5, ³√7. The small number n is the order of the surd (√ has order 2, ³√ has order 3). Note: √9 is not a surd, because √9 = 3 is rational.एक करणी किसी परिमेय संख्या का n-वाँ मूल है जब वह मूल अपरिमेय हो — जैसे √2, √5, ³√7। छोटी संख्या n करणी की कोटि है (√ की कोटि 2, ³√ की कोटि 3)। ध्यान दें: √9 करणी नहीं है, क्योंकि √9 = 3 परिमेय है।

  • Pure surd — the whole thing is under the root, with coefficient 1 (√5, ³√7).शुद्ध करणी — पूरा भाग मूल के अंदर, गुणांक 1 (√5, ³√7)।
  • Mixed surd — a rational number multiplied by a surd (2√3, 5√7).मिश्र करणी — किसी परिमेय संख्या से गुणा की गई करणी (2√3, 5√7)।
  • Like (similar) surds — same irrational part (3√3, 4√3, 7√3). You can add or subtract only like surds: 3√3 + 4√3 = 7√3.समान (सजातीय) करणी — समान अपरिमेय भाग (3√3, 4√3, 7√3)। केवल समान करणियों को जोड़/घटा सकते हैं: 3√3 + 4√3 = 7√3।
  • Unlike surds — different irrational parts (3√3 and 7√5); these cannot be combined.असमान करणी — भिन्न अपरिमेय भाग (3√3 और 7√5); इन्हें मिलाया नहीं जा सकता।
Check first:पहले जाँचें: a root is a surd only if the value inside is not a perfect n-th power. √16, ∛27 and √(25/4) are all rational, so they are not surds.कोई मूल तभी करणी है जब अंदर का मान पूर्ण n-वाँ घात न हो। √16, ∛27 और √(25/4) सभी परिमेय हैं, अतः वे करणी नहीं हैं।
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Which of these is a pure surd?इनमें से कौन-सी शुद्ध करणी है?

  1. 2√3
  2. √9
  3. √7
  4. 5√2
✔ C. √7 is fully under the root with coefficient 1 (pure). 2√3 and 5√2 are mixed; √9 = 3 is not a surd at all.✔ C. √7 पूरी तरह मूल के अंदर, गुणांक 1 (शुद्ध)। 2√3 और 5√2 मिश्र हैं; √9 = 3 करणी ही नहीं।

The value of 5√3 + 2√3 − √3 is:5√3 + 2√3 − √3 का मान है:

  1. 7√9
  2. 6√9
  3. 8√3
  4. 6√3
✔ D. They are like surds, so add the coefficients: (5 + 2 − 1)√3 = 6√3.✔ D. ये समान करणी हैं, अतः गुणांक जोड़ें: (5 + 2 − 1)√3 = 6√3।
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Topic 03

Rationalising & Perfect-Square Surds

To rationalise means to clear the surd from the bottom of a fraction. Multiply the top and bottom by the conjugate — the same two terms with the middle sign flipped. The pair (√a + √b)(√a − √b) = a − b leaves no surd.परिमेयकरण का अर्थ है किसी भिन्न के हर से करणी हटाना। अंश और हर को संयुग्मी से गुणा करें — वही दो पद, बीच का चिह्न पलटा हुआ। युग्म (√a + √b)(√a − √b) = a − b में कोई करणी नहीं बचती।

◆ Worked example — rationalise 1 / (2 + √3)हल किया उदाहरण — 1 / (2 + √3) का परिमेयकरण
  1. Multiply top and bottom by the conjugate 2 − √3.अंश और हर को संयुग्मी 2 − √3 से गुणा करें।
  2. Bottom: (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1; top: 2 − √3.हर: (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1; अंश: 2 − √3।
  3. So the value is 2 − √3.अतः मान 2 − √3 है।
✔ The conjugate turns the surd denominator into a plain whole number.✔ संयुग्मी करणी वाले हर को साधारण पूर्ण संख्या बना देता है।
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Perfect-square surds — a square hiding insideपूर्ण-वर्ग करणी — अंदर छिपा एक वर्ग
Many surds like 7 + 4√3 are secretly a square. To simplify √(m ± 2√n), find p and q with p + q = m and p × q = n; then m ± 2√n = (√p ± √q)². Example: 7 + 4√3 = 7 + 2√12, and p + q = 7, pq = 12 give p = 4, q = 3, so √(7 + 4√3) = 2 + √3.7 + 4√3 जैसी कई करणियाँ गुप्त रूप से एक वर्ग हैं। √(m ± 2√n) को सरल करने के लिए, p और q खोजें जहाँ p + q = m और p × q = n; तब m ± 2√n = (√p ± √q)²। उदाहरण: 7 + 4√3 = 7 + 2√12, और p + q = 7, pq = 12 देते हैं p = 4, q = 3, अतः √(7 + 4√3) = 2 + √3।
Links to Algebra:बीजगणित से जुड़ाव: once you know √x, a surd like x = 2 + √3 feeds straight into the x + 1/x machine — here 1/x = 2 − √3, so x + 1/x = 4.√x जानते ही, x = 2 + √3 जैसी करणी सीधे x + 1/x मशीन में जाती है — यहाँ 1/x = 2 − √3, अतः x + 1/x = 4।
📝 Quick self-testत्वरित स्वयं-परीक्षण 2 MCQs

Rationalising, 1 / (√5 − √3) equals:परिमेयकरण करने पर, 1 / (√5 − √3) बराबर है:

  1. (√5 + √3)/2
  2. √5 − √3
  3. (√5 − √3)/2
  4. √5 + √3
✔ A. Multiply by (√5 + √3): bottom = 5 − 3 = 2, top = √5 + √3, giving (√5 + √3)/2.✔ A. (√5 + √3) से गुणा करें: हर = 5 − 3 = 2, अंश = √5 + √3, अतः (√5 + √3)/2।

The value of √(9 + 4√5) is:√(9 + 4√5) का मान है:

  1. 3 + √5
  2. 2 + √5
  3. 1 + 2√5
  4. √5 + 4
✔ B. 9 + 4√5 = 9 + 2√20, with p + q = 9, pq = 20 → p = 5, q = 4. So it is (√5 + 2)² and the root is 2 + √5.✔ B. 9 + 4√5 = 9 + 2√20, जहाँ p + q = 9, pq = 20 → p = 5, q = 4। अतः यह (√5 + 2)² है और मूल 2 + √5।
⚖️
Topic 04

Comparing Surds & Nested Radicals

To decide which of two surds is bigger, first look at their order.दो करणियों में से कौन बड़ी है यह तय करने के लिए, पहले उनकी कोटि देखें।

  • Same order → the one with the larger number inside is bigger (√7 > √3).समान कोटि → अंदर बड़ी संख्या वाली बड़ी होती है (√7 > √3)।
  • Different order → make the orders equal first. Take the LCM of the orders and rewrite both, then compare the numbers inside.भिन्न कोटि → पहले कोटियाँ समान बनाएँ। कोटियों का LCM लें, दोनों को फिर से लिखें, फिर अंदर की संख्याएँ तुलना करें।
◆ Worked example — which is larger, √2 or ³√3?हल किया उदाहरण — कौन बड़ी है, √2 या ³√3?
  1. Orders are 2 and 3; their LCM is 6.कोटियाँ 2 और 3 हैं; उनका LCM 6 है।
  2. √2 = ⁶√(2³) = ⁶√8  and  ³√3 = ⁶√(3²) = ⁶√9.√2 = ⁶√(2³) = ⁶√8 और ³√3 = ⁶√(3²) = ⁶√9।
  3. Now compare 8 and 9: since 9 > 8, ³√3 is larger.अब 8 और 9 तुलना करें: चूँकि 9 > 8, ³√3 बड़ी है।
✔ Equal orders let you compare the insides directly; unequal orders need a common order first.✔ समान कोटि से अंदर की संख्याएँ सीधे तुलना करें; असमान कोटि के लिए पहले उभयनिष्ठ कोटि चाहिए।
♾️
Nested (infinite) radicalsआवर्ती (अनंत) करणी
For √(x + √(x + √(x + …))) going on forever, if x = n(n + 1) then the whole value is n + 1; for the minus version √(x − √(x − …)) it is n. Example: √(20 + √(20 + …)) — here 20 = 4 × 5, so n = 4 and the value is 5.√(x + √(x + √(x + …))) के लिए जो अनंत तक चले, यदि x = n(n + 1) तो पूरा मान n + 1 होता है; ऋण रूप √(x − √(x − …)) के लिए यह n होता है। उदाहरण: √(20 + √(20 + …)) — यहाँ 20 = 4 × 5, अतः n = 4 और मान 5।
📝 Quick self-testत्वरित स्वयं-परीक्षण 2 MCQs

Which of the following is the greatest?इनमें से कौन-सी सबसे बड़ी है?

  1. They are equal
  2. ³√4
  3. √3
  4. ⁶√10
✔ C. Common order 6: ³√4 = ⁶√16, √3 = ⁶√27, ⁶√10 = ⁶√10. The largest inside is 27, so √3 is greatest.✔ C. उभयनिष्ठ कोटि 6: ³√4 = ⁶√16, √3 = ⁶√27, ⁶√10 = ⁶√10। अंदर सबसे बड़ा 27, अतः √3 सबसे बड़ी।

The value of √(12 + √(12 + √(12 + …))) (continuing forever) is:√(12 + √(12 + √(12 + …))) (अनंत तक) का मान है:

  1. 12
  2. 3
  3. 6
  4. 4
✔ D. 12 = 3 × 4 = n(n + 1) with n = 3, so the value is n + 1 = 4.✔ D. 12 = 3 × 4 = n(n + 1) जहाँ n = 3, अतः मान n + 1 = 4।

Test Yourself · Surds & Indices

20 questions on index laws, index equations, surd types, rationalising, perfect-square surds and comparing. Take 5 at a time; tap an option to check, then read Why.

घातांक नियम, घातांक समीकरण, करणी प्रकार, परिमेयकरण, पूर्ण-वर्ग करणी और तुलना पर 20 प्रश्न। एक बार में 5 लें; जाँचने के लिए विकल्प पर टैप करें, फिर Why पढ़ें।