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Reasoning · Cubes & Dice · घन व पासा

Cubes & Dice

Two separate ideas share this chapter — a dice (find which face is opposite which) and a painted cube cut into small cubes (count how many faces are painted). Each has just a couple of rules.इस अध्याय में दो अलग विचार हैं — एक पासा (कौन-सा फलक किसके विपरीत है) और एक रंगा हुआ घन जिसे छोटे घनों में काटा जाता है (कितने फलक रंगे हैं गिनना)। प्रत्येक के केवल कुछ नियम हैं।
🎲 5 topics🎯 tough MCQs🌐 हिंदी + English
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Topic 01

Two Kinds of Diceपासे के दो प्रकार

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HANDWRITTEN PDF NOTES
Cubes & Dice — downloadable PDF
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  • Standard dice: the sum of OPPOSITE faces is 7 → pairs are (1,6), (2,5), (3,4).मानक पासा: विपरीत फलकों का योग 7 → युग्म हैं (1,6), (2,5), (3,4)।
  • Normal dice: the sum of two ADJACENT (touching) faces is 7.सामान्य पासा: दो निकटवर्ती (छूते) फलकों का योग 7।
Dice rules · पासा नियम
Standard: opposite faces add to 7 → (1,6), (2,5), (3,4)
Normal: adjacent faces add to 7मानक: विपरीत फलकों का योग 7 → (1,6), (2,5), (3,4) · सामान्य: निकटवर्ती फलकों का योग 7
📝 Quick self-test 4 MCQs

On a standard dice, which number is opposite to 5?मानक पासे पर, 5 के विपरीत कौन-सी संख्या है?

  1. 11
  2. 22
  3. 33
  4. 66
✔ B. 2 — opposite faces add to 7, so 5's opposite is 7 − 5 = 2.✔ B. 2 — विपरीत फलकों का योग 7, अतः 5 का विपरीत = 7 − 5 = 2।

On a standard dice, which pair is a valid opposite pair?मानक पासे पर, कौन-सा युग्म मान्य विपरीत युग्म है?

  1. (2, 3)(2, 3)
  2. (3, 4)(3, 4)
  3. (4, 5)(4, 5)
  4. (5, 6)(5, 6)
✔ B. (3, 4) — because 3 + 4 = 7.✔ B. (3, 4) — क्योंकि 3 + 4 = 7।

Practice On a standard dice, which number is opposite to 4?Practice मानक पासे पर, 4 के विपरीत कौन-सी संख्या है?

  1. 33
  2. 44
  3. 55
  4. 22
✔ A. 3 — opposite faces add to 7, so 7 − 4 = 3.✔ A. 3 — विपरीत फलकों का योग 7, अतः 7 − 4 = 3।

Practice On a standard dice, which of these is a valid pair of opposite faces?Practice मानक पासे पर, इनमें से कौन-सा विपरीत फलकों का मान्य युग्म है?

  1. (2, 5)(2, 5)
  2. (2, 4)(2, 4)
  3. (3, 6)(3, 6)
  4. (4, 6)(4, 6)
✔ A. (2, 5) — because 2 + 5 = 7.✔ A. (2, 5) — क्योंकि 2 + 5 = 7।
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Topic 02

Finding Opposite Facesविपरीत फलक ज्ञात करना

  • When two views share a common face, list the OTHER four faces in a clockwise line; the missing number (of 1–6) is opposite the common face.जब दो दृश्य एक समान फलक साझा करें, बाकी चार फलकों को घड़ी-दिशा रेखा में लिखें; जो संख्या (1–6 में से) बची, वह समान फलक के विपरीत है।
Worked example · हल उदाहरण

Two views share top = 2. The four side faces seen are 3, 4, 5, 1. The missing number is 6, so the opposite of 2 is 6.

दो दृश्य ऊपर = 2 साझा करते हैं। दिखने वाले चार पार्श्व फलक 3, 4, 5, 1 हैं। बची संख्या 6 है, अतः 2 का विपरीत 6 है।

📝 Quick self-test 4 MCQs

Two views of a dice share the top face 4. The side faces seen across both are 6, 5, 3 and 2. Which number is opposite 4?एक पासे के दो दृश्य ऊपरी फलक 4 साझा करते हैं। दोनों में दिखने वाले पार्श्व फलक 6, 5, 3 और 2 हैं। 4 के विपरीत कौन-सी संख्या है?

  1. 11
  2. 22
  3. 33
  4. 66
✔ A. 1 — the four side faces are 6, 5, 3, 2, so the missing number (opposite the common face 4) is 1.✔ A. 1 — चार पार्श्व फलक 6, 5, 3, 2 हैं, अतः बची संख्या (समान फलक 4 के विपरीत) 1 है।

In the common-face trick, the number NOT seen on any of the four side faces is:समान-फलक तरकीब में, जो संख्या चारों पार्श्व फलकों पर न दिखे वह है:

  1. Adjacent to the common faceसमान फलक के निकट
  2. Opposite the common faceसमान फलक के विपरीत
  3. Equal to the common faceसमान फलक के बराबर
  4. Always 6हमेशा 6
✔ B. Opposite the common face — it is the only face never shown.✔ B. समान फलक के विपरीत — यही एकमात्र फलक कभी नहीं दिखता।

Practice Two views share the top face 5. The four side faces are 1, 2, 3 and 6. Which number is opposite 5?Practice दो दृश्य ऊपरी फलक 5 साझा करते हैं। चार पार्श्व फलक 1, 2, 3 और 6 हैं। 5 के विपरीत कौन-सी संख्या है?

  1. 44
  2. 11
  3. 33
  4. 66
✔ A. 4 — used numbers are {5, 1, 2, 3, 6}; the missing one, 4, is opposite the common face 5.✔ A. 4 — प्रयुक्त संख्याएँ {5, 1, 2, 3, 6}; बची संख्या 4 समान फलक 5 के विपरीत है।

Practice In the common-face trick, the number opposite the common face is the one that:Practice समान-फलक तरकीब में, समान फलक के विपरीत संख्या वह है जो:

  1. Does not appear on any of the four side facesचारों पार्श्व फलकों में से किसी पर नहीं दिखती
  2. Appears twiceदो बार दिखती है
  3. Equals the common faceसमान फलक के बराबर है
  4. Is always 6हमेशा 6 होती है
✔ A. The number missing from the four side faces (and not the common face) is the opposite one.✔ A. जो संख्या चारों पार्श्व फलकों में नहीं दिखती (और समान फलक भी नहीं) वही विपरीत होती है।
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Topic 03

Painted Cube — Cuttingरंगा घन — काटना

  • A big cube is painted on all six faces, then cut into small equal cubes.एक बड़ा घन सभी छह फलकों पर रंगा जाता है, फिर छोटे बराबर घनों में काटा जाता है।
  • If each side is cut into n parts, the total number of small cubes is n³.यदि प्रत्येक भुजा n भागों में कटे, तो छोटे घनों की कुल संख्या n³ है।
Cutting · कटाई
Side divided into n parts → total small cubes = n³
(n = 3 → 27 cubes; n = 4 → 64 cubes; n = 5 → 125 cubes)भुजा n भागों में → कुल छोटे घन = n³ (n=3 → 27; n=4 → 64; n=5 → 125)
📝 Quick self-test 4 MCQs

A cube is cut so that each edge is divided into 4 equal parts. How many small cubes are formed?एक घन इस तरह काटा जाता है कि प्रत्येक किनारा 4 बराबर भागों में बँटे। कितने छोटे घन बनते हैं?

  1. 1616
  2. 4848
  3. 6464
  4. 8181
✔ C. 64 — total = n³ = 4³ = 64.✔ C. 64 — कुल = n³ = 4³ = 64।

If a cube is cut into 27 small cubes, into how many parts was each edge divided?यदि एक घन 27 छोटे घनों में कटे, तो प्रत्येक किनारा कितने भागों में बँटा?

  1. 22
  2. 33
  3. 99
  4. 2727
✔ B. 3 — since 3³ = 27.✔ B. 3 — क्योंकि 3³ = 27।

Practice A cube has each edge divided into 5 parts and is cut. How many small cubes are formed?Practice एक घन का प्रत्येक किनारा 5 भागों में बाँटकर काटा जाता है। कितने छोटे घन बनते हैं?

  1. 125125
  2. 2525
  3. 7575
  4. 150150
✔ A. 125 — total = n³ = 5³ = 125.✔ A. 125 — कुल = n³ = 5³ = 125।

Practice A cube is cut into 64 small cubes. Into how many parts was each edge divided?Practice एक घन 64 छोटे घनों में कटता है। प्रत्येक किनारा कितने भागों में बँटा?

  1. 44
  2. 88
  3. 1616
  4. 33
✔ A. 4 — since 4³ = 64.✔ A. 4 — क्योंकि 4³ = 64।
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Topic 04

Painted Cube — Counting Facesरंगा घन — फलक गिनना

  • 3 painted faces: the 8 corner cubes — always 8.3 रंगे फलक: 8 कोने के घन — हमेशा 8।
  • 2 painted faces: the edge cubes = 12(n − 2).2 रंगे फलक: किनारे के घन = 12(n − 2)।
  • 1 painted face: the face-centre cubes = 6(n − 2)².1 रंगा फलक: फलक-मध्य घन = 6(n − 2)²।
  • 0 painted faces: the inner cubes = (n − 2)³.0 रंगे फलक: भीतरी घन = (n − 2)³।
Formulas · सूत्र
3 faces = 8   2 faces = 12(n−2)   1 face = 6(n−2)²   0 faces = (n−2)³
Check: they add up to n³.3 फलक = 8 · 2 फलक = 12(n−2) · 1 फलक = 6(n−2)² · 0 फलक = (n−2)³ · जाँच: योग = n³
📝 Quick self-test 4 MCQs

A painted cube is cut into 27 (3×3×3) small cubes. How many small cubes have exactly 2 painted faces?एक रंगा घन 27 (3×3×3) छोटे घनों में कटता है। कितने छोटे घनों के ठीक 2 फलक रंगे हैं?

  1. 66
  2. 88
  3. 1212
  4. 11
✔ C. 12 — 2-face cubes = 12(n − 2) = 12(3 − 2) = 12.✔ C. 12 — 2-फलक घन = 12(n − 2) = 12(3 − 2) = 12।

In a painted 3×3×3 cube, how many small cubes have NO painted face?रंगे 3×3×3 घन में, कितने छोटे घनों का कोई फलक रंगा नहीं है?

  1. 00
  2. 11
  3. 66
  4. 88
✔ B. 1 — inner cubes = (n − 2)³ = (3 − 2)³ = 1.✔ B. 1 — भीतरी घन = (n − 2)³ = (3 − 2)³ = 1।

Practice A painted cube is cut into 4×4×4 = 64. How many small cubes have exactly 2 painted faces?Practice एक रंगा घन 4×4×4 = 64 में कटता है। कितनों के ठीक 2 फलक रंगे हैं?

  1. 2424
  2. 1212
  3. 3636
  4. 88
✔ A. 24 — 2-face cubes = 12(n − 2) = 12(2) = 24.✔ A. 24 — 2-फलक घन = 12(n − 2) = 12(2) = 24।

Practice In a painted 4×4×4 cube, how many small cubes have NO painted face?Practice रंगे 4×4×4 घन में, कितने छोटे घनों का कोई फलक रंगा नहीं है?

  1. 88
  2. 11
  3. 2727
  4. 00
✔ A. 8 — inner cubes = (n − 2)³ = 2³ = 8.✔ A. 8 — भीतरी घन = (n − 2)³ = 2³ = 8।
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Recap

Quick Revisionतेज़ पुनरावृत्ति

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Formulas · सूत्र
Standard dice: opposite faces add to 7.   Painted cube (side n): 3 faces = 8, 2 = 12(n−2), 1 = 6(n−2)², 0 = (n−2)³.मानक पासा: विपरीत फलकों का योग 7। रंगा घन (भुजा n): 3 फलक = 8, 2 = 12(n−2), 1 = 6(n−2)², 0 = (n−2)³।
  • Total small cubes = n³; the four counts add up to n³.कुल छोटे घन = n³; चारों गिनतियों का योग = n³।
  • Dice: the face missing from the four sides is opposite the common face.पासा: चार पार्श्व फलकों में से जो न दिखे वह समान फलक के विपरीत।

Test Yourself · स्वयं को परखें

Take 5 questions at a time — tap an option to check. After each round, revise the notes above and take the retest.

एक बार में 5 प्रश्न लें — जाँचने के लिए किसी विकल्प पर टैप करें। हर राउंड के बाद ऊपर के नोट्स दोहराएँ और पुनःपरीक्षण लें।